Откуда взялся логарифм. Из истории логарифмов. Натуральный и десятичный логарифмы

Открытие логарифмов опиралось на хорошо известные к концу 16 в. свойства прогрессий. Многие математики замечали, что умножению, делению, возведению в степень и извлечению корня в геометрической прогрессии соответствуют в арифметической прогрессии (в том же порядке) сложение, вычитание, умножение и деление. Настоящим триумфом стало открытие логарифмов как показателей степеней. Основные свойства логарифмов позволяют заменить умножение, возведение в степень и более простыми действиями сложения, вычитания, .

Логарифмы были изобретены независимо друг от друга Непером и Бюрги в начале 16 в. В 1614 г. Непер опубликован свое "Описание удивительной таблицы логарифмов", содержавшее определение логарифмов (и их свойства), которые теперь мы называем Неперовыми логарифмами, а в 1620 г. швейцарец Иост Бюрги (1552-1632) – опубликовал книгу "Таблицы арифметической и геометрической прогрессий, вместе с основательным наставлением, как их нужно понимать и с пользой применять во всяческих вычислениях". Однако таблицы Бюрги не получили значительного распространения.

Открытие логарифмов Непером, в первые же годы приобрело исключительно широкую известность. С логарифмами многие расчеты пошли в десятки раз быстрее и легче. Недаром великий французский математик Пьер Симон Лаплас говорил, что "изобретение логарифмов удлинило жизнь".

Термин "логарифм" (logarithmus) тоже принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов: logos – "отношение" и arithmus – "число", т. е. означало число отношений. Однако ни у Непера, ни у Бюрги не было, строго говоря, основания логарифмов, поскольку логарифм единицы отличается от . Даже значительно позднее, когда уже перешли к десятичным и натуральным логарифмам, еще не было сформулировано определение логарифма как показателя степени данного основания.

Таблицы Непера, приспособленные к тригонометрическим вычислениям, были неудобны для действий с подобными числами. В 1615 г. Непер познакомился с Генри Бригсом (1561-1631) – профессором математики Грешем-колледжа, который тоже задумывался над тем, как усовершенствовать таблицы логарифмов. В ходе беседы с Бригсом Непер предложил составить таблицы логарифмов, приняв за логарифм единицы нуль, а за логарифм десяти - просто единицу, и таким образом устранить имевшиеся недостатки. Воплотить свои идеи в жизнь Непер не смог из-за пошатнувшегося здоровья, но он указал идею двух вычислительных приемов, развитых далее Бригсом.

В 1617 г. Бригс опубликовал первые результаты своих кропотливых вычислений – "Первую тысячу логарифмов". В этих таблицах были даны восьмизначные десятичные логарифмы чисел от 1 до 1000. Позднее (в 1624 г.), уже после того как он стал профессором в Оксфорде, Бригс выпустил "Логарифмическую арифметику". В книге содержались четырнадцатизначные логарифмы чисел от 1 до 20000 и от 90000 до 100000.

Сам термин "натуральный логарифм" в 1659 г. ввел Пьетро Менголи – итальянский математик, преподававший в Болонском университете, а знак Log был введен в 1624 г. Иоганном Кеплером (1571-1630), знаменитым немецким математиком, астрономом и оптиком, открывшим законы движения планет.

Следует отметить огромную работу, проделанную голландским математиком Андрианом Влакком. В 1628 г. он издал десятизначные таблицы логарифмов от 1 до 100000. Таблицы Влакка легли в основу большинства последующих таблиц, причем их авторы внесли много изменений в структуру логарифмических таблиц и поправок. В России таблицы логарифмов впервые были изданы в 1703 г. Л. Ф. Магницким.

За основание Бригговых логарифмов, как уже отмечалось, было взято число 10. В случае же Неперовых логарифмов сама константа (основание логарифмов) явно не определена. Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой встречается в письмах Готфрида Лейбница к Кристиану Гюйгенсу в 1690 и 1691 гг. Букву е начал использовать Леонард Эйлер в 1727 г., а первой публикацией с использованием этой буквы была его работа "Механика, или Наука о движении, наложенная аналитически" (1736). Соответственно, е иногда называют числом Эйлера. В 1874 г. французский математик Ш. Эрмит доказал, что основание натуральных логарифмов е трансцендентно (как ). Величина е = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 49.

Число е можно запомнить по следующему : два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), а затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45. 90 и 45 градусов). А вот еще один оригинальный способ запоминания: предлагается запомнить число е с точностью до трех знаков после запятой через "число дьявола": нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 - 4, 6 - 2, 6 - 1 (три шестерки, из которых в обратном порядке удаляются три первые степени двойки): 666/245 = 2,718.

В шестнадцатом веке быстрыми темпами развивалось мореплавание. Поэтому совершенствовались наблюдения за небесными телами. Для упрощения астрономических расчетов в конце 16 – начале 17 веков возникли логарифмические вычисления.

Ценность логарифмического метода заключается в сведении умножения и деления чисел к сложению и вычитанию. Действиям менее трудоемким. Особенно если приходится работать с многозначными числами.

Метод Бюрги

Первые логарифмические таблицы были составлены швейцарским математиком Йостом Бюрги в 1590 году. Суть его метода состояла в следующем.

Чтобы умножить, например, 10 000 на 1 000, достаточно сосчитать число нулей в множимом и множителе, сложить их (4 + 3) и записать произведение 10 000 000 (7 нулей). Сомножители – целые степени числа 10. При умножении показатели степеней складываются. Также выполняется и деление. Оно заменяется вычитанием показателей степеней.

Таким образом, можно делить и умножать не все числа. Но их станет больше, если в качестве основания взять число, близкое к 1. Например, 1,000001.

Так и поступил четыреста лет назад математик Йост Бюрги. Правда свою работу «Таблицы арифметической и геометрической , вместе с основательным наставлением…» он опубликовал только в 1620 году.

Родился Йост Бюрги 28 февраля 1552 года в Лихтенштейне. С 1579 по 1604 год служил придворным астрономом у ландграфа Гессен-Касселя Вильгельма IV. Позже у императора Рудольфа II в Праге. За год до своей смерти, в 1631 году, в Кассель. Бюрги известен и как изобретатель первых маятниковых часов.

Таблицы Непера

В 1614 году появились таблицы Джона Непера. Этот ученый тоже брал за основание число, близкое к единице. Но оно было меньше единицы.

Шотландский барон Джон Непер (1550-1617) учился на родине. Любил путешествовать. Побывал в Германии, Франции и Испании. В 21 год вернулся в семейное поместье недалеко от Эдинбурга и прожил там до смерти. Занимался богословием и математикой. Последнюю изучал по сочинениям Евклида, Архимеда и Коперника.

Десятичные логарифмы

Неперу и англичанину Бриггу принадлежит идея составления таблицы десятичных логарифмов. Работу по пересчету ранее составленных таблиц Непера они начали вместе. После смерти Непера Бригг ее продолжил. Работу он опубликовал в 1624 году. Поэтому десятичные называют еще бригговыми.

Составление логарифмических таблиц потребовало от ученых многолетней трудоемкой работы. Зато во много раз повысилась производительность труда тысяч вычислителей, которые пользовались составленными ими таблицами.

Что такое логарифм?

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.

Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:

1. Поймете, что такое логарифм .

2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.

3. Научитесь вычислять простые логарифмы.

Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...

Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Единственным способом реализации дальних путешествий было мореплавание, что всегда связано с выполнением больших объемов навигационных вычислений. Сейчас трудно представить процесс изнурительных расчетов при умножении-делении пяти-шестизначных чисел «вручную». богослов по роду своей основной деятельности, занимаясь на досуге тригонометрическими расчетами, догадался заменить трудоемкую процедуру умножения простым сложением. Он сам говорил, что его целью было «освободиться от трудности и скуки вычислений, которые отпугивают многих от изучения математики». Усилия увенчались успехом - был создан математический аппарат, названный системой логарифмов.

Итак, что такое логарифм? Основой логарифмических вычислений является иное представление числа: вместо обычной позиционной системы, как мы привыкли, число A представляется в виде степенного выражения, где некое произвольное число N, называемое основанием степени, возводится в такую степень n, что в результате получается число A. Таким образом, n - это логарифм числа А по основанию N. Выбор основания логарифмов определяет название системы. Для простых вичислений применяется десятичная система логарифмов, а в науке и технике широко используется система натуральных логарифмов, где основанием служит иррациональное число е=2,718. Выражение, определяющее логарифм числа А, на языке математики записывается так:

n=log(N)A, где N - основание степени.

Десятичный и натуральный логарифмы имеют свое специфичное сокращенное написание - lgA и lnA, соответственно.

В системе расчетов, использующей вычисление логарифмов, основным элементом является преобразование числа к степенному виду с помощью таблицы логарифмов по некоторому основанию, например 10. Эта манипуляция не представляет никаких сложностей. Далее используется свойство степенных чисел, состоящее в том, что при умножении их степени складываются. Практически это означает, что умножение чисел с логарифмическим представлением, заменяется сложением их степеней. Поэтому, вопрос «что такое логарифм», если его продолжить до «а зачем он нам нужен», имеет простой ответ - чтоб упростить процедуру умножения-деления многоразрядных чисел - ведь сложение «в столбик» значительно проще умножения «в столбик». Кто не верит - пусть попробует сложить и умножить два восьмиразрядных числа.

Первые таблицы логарифмов (по основанию с опубликовал в 1614 году Джон Непер, а полностью лишенный ошибок вариант, включающий и таблицы десятичных логарифмов, появился в 1857 году и известен как таблицы Бремикера. Использование логарифмов с основанием в виде обусловлено тем, что число е довольно просто получить через ряд Тейлора, имеющий широкое применение в интегральном и

Суть данной вычислительной системы содержится в ответе на вопрос «что такое логарифм» и вытекает из основного логарифмического тождества: N(основание логарифма) n, равную логарифму числа А(logA), равно этому числу A. При этом А>0, т.е. логарифм определяется только для положительных чисел, а основание логарифма всегда больше 0 и не равно 1. Исходя из сказанного, свойства натурального логарифма можно сформулировать следующим образом:

1. Область определения натурального логарифма - вся числовая ось от 0 до бесконечности.
2. ln x = 0 - следствие известного соотношения - любое число в нулевой степени равно 1.
3. ln (X*Y) = ln X + lnY - наиболее важное для вычислительных манипуляций свойство - логарифм произведения двух чисел рамен сумме логарифмов каждого из них.
4. ln (X/Y) = ln X - lnY - логарифм частного двух чисел равен разности логарифмов этих чисел.
5. ln (X)n =n*ln X .
6. Натуральный логарифм представляет собой дифференцируемую, выпуклую вверх функцию, причем ln’ X = 1 / X
7. log (N)A =K* ln A - логарифм по любому положительному и отличному от числа е основанию отличается от натурального только коэффициентом.

Сейчас каждый школьник знает, что такое логарифм, но благодаря прогрессу в области прикладной вычислительной техники проблемы вычислительных работ ушли в прошлое. Тем не менее, логарифмы, уже как математический инструмент, используются при решении уравнений с неизвестными в показателе степени, в выражениях для нахождения времени

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь — собственно, определение логарифма:

Логарифм по основанию a от аргумента x — это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .

Обозначение: log a x = b , где a — основание, x — аргумент, b — собственно, чему равен логарифм.

Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6, поскольку 2 6 = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно понимать, что логарифм — это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где — аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами — не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм — это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень — на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии — и никакой путаницы не возникает.

С определением разобрались — осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2 −1 .

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача. Вычислите логарифм: log 5 25

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Получили ответ: 2.

Задача. Вычислите логарифм:

Задача. Вычислите логарифм: log 4 64

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Получили ответ: 3.

Задача. Вычислите логарифм: log 16 1

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Составим и решим уравнение:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Получили ответ: 0.

Задача. Вычислите логарифм: log 7 14

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
3. Ответ — без изменений: log 7 14.

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто — достаточно разложить его на простые множители. И если такие множители нельзя собрать в степени с одинаковыми показателями, то и исходное число не является точной степенью.

Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 — точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 — не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 — точная степень;
35 = 7 · 5 — снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 — опять не точная степень;

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Десятичный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 — и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log 10 x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Натуральный логарифм от аргумента x — это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .

Многие спросят: что еще за число e ? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e — основание натурального логарифма:
ln x = log e x

Таким образом, ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 — и т.д. С другой стороны, ln 2 — иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.